在本文中，我们将了解如何找到曲线的切线方程。此外，您还可以通过不同难度级别的已解决练习进行训练。
函数在一点的切线方程
函数 f(x) 在 x=x 0处的切线方程为：
其中点P(x 0 ,y 0 )是切线与函数重合的点。而切线的斜率m等于曲线在x 0点处的导数，即m=f'(x 0 )。
在上图中你可以看到一条曲线
用与函数相切的蓝色线和橙色线表示
关于
，因为它们只有这一点的共同点。那么，这条切线的方程是
，其斜率为
。
如何求正切方程
要找到函数在一点的切线方程，您需要执行以下操作：
通过计算函数在切点处的导数来求出切线的斜率。
确定切线上的一点。
使用计算出的斜率和切线点求出切线方程。
曲线切线方程示例
了解了正切方程的理论后，让我们看看如何通过逐步求解示例来计算正切方程：
计算曲线的切线方程
关于
。
我们知道，正切方程总是以下形式：
首先要做的是计算直线的斜率。因此，切线的斜率，
，将是曲线在切点 x=1 处的导数值，即
因此，我们对函数进行微分，然后计算
一旦我们知道了
，我们需要找到一个点
的切线来完成切线方程。
切线方程和曲线方程总是有一个公共点，在本例中是
。因此，就像曲线
通过这个点，我们可以通过计算找到该点的另一个分量
因此切点为：
曲线和切线都经过该点，所以我们也可以用它来求切线的方程。
剩下的就是将找到的斜率和切线点的值代入其方程：
简而言之，正切方程为：
您还可以用直线的显式方程来表达切线的方程：
下面你可以看到代表的曲线
和它的切线
正如你所看到的，曲线
和切线
他们只有一个共同点
，正如我们计算的那样。
已解答的正切方程练习
练习1
计算曲线的切线方程
关于
查看解决方案
正切方程始终采用以下形式：
步骤一：计算切线的斜率
斜率m是曲线在切点处的导数值。因此，在这种情况下
第二步：找到切线上的点
切线方程和曲线方程总是有一个公共点，在本例中为
。因此，就像曲线
通过这个点，我们可以通过计算找到该点的另一个分量
因此，曲线和切线都经过的点就是该点
第三步：写出正切方程
剩下的就是将找到的斜率和切线点的值代入其方程：
因此，正切方程为：
练习2
计算曲线的切线方程
在坐标原点。
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坐标原点指的是该点
因此，我们必须计算函数在该点的正切值
首先，我们通过计算坐标原点处的导数来确定切线的斜率值：
在这种情况下，我们已经知道切线经过的点。因为该语句告诉我们直线必须在坐标原点处与曲线相切，也就是说在该点
所以曲线和切线共有的点就是点
最后，只需将找到的斜率和切线点的值代入方程即可：
综上，正切方程为：
练习3
计算曲线的切线
与右边平行
。
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在这个问题中，我们被告知切线必须平行于直线
如果两条线具有相同的斜率，则它们是平行的。因此，切线必须具有与直线相同的斜率
这意味着我们需要找到直线的斜率
为此，我们清除变量并：
所以直线的斜率
是 4，因为当 y 明确时，直线的斜率是 x 的乘积。
因此，切线的斜率也必须为 4，因为要使它们平行，它们必须具有相同的斜率。
在这种情况下，它们不会告诉我们曲线和切线之间的切点。但我们知道曲线在切点处的导数等于切线的斜率，即
。那么我们如何知道的价值
，我们可以从方程中找到 x 0
为此，我们首先计算
现在我们解决
知道
一旦我们知道了该点的x坐标，我们就可以通过计算找到该点的另一个坐标
因此，曲线和切线都经过的点就是该点
剩下的就是将找到的斜率和切线点的值代入其方程：
正切方程为：
练习4
计算曲线的切线
与 X 轴形成 45° 角。
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问题陈述告诉我们切线必须与 X 轴形成 45° 角。在这些情况下，必须应用以下公式来计算斜率值：
该语句没有指定曲线和切线之间的切点。但我们知道，曲线在切点处的导数就相当于切线的斜率，即
。因此，我们可以通过求解方程来计算 x 0
为此，我们首先计算
现在我们解决
知道
一旦我们知道了该点的x坐标，我们就可以通过计算找到该点的另一个坐标
因此，曲线和切线都经过的点就是该点
剩下的就是将找到的斜率和切线点的值代入其方程：
最后，我们进行运算来求正切方程：